Шифры и алгебра
"Шифры от Цезаря до RSA: как алгебра защищает наши секреты?" Здесь вы найдете информацию о различных шифрах, методах шифрования и основах арифметики по модулю.
Что такое шифрование
Шифрование – это превращение обычного текста в непонятный набор символов, который нельзя прочитать без специального ключа. Такой ключ знают только те, кому действительно разрешено видеть исходное сообщение.
- Зачем нужны шифры?Шифры защищают данные от посторонних. Они помогают: сохранять конфиденциальность сообщений в мессенджерах; защищать банковские данные и пароли; охранять государственные и военные секреты.
- Чем шифр отличается от кода?Кодирование передаёт информацию в удобном виде. Пример: жесты регулировщика — это код.
Шифрование скрывает смысл сообщения и делает его понятным только тому, у кого есть ключ. Пример: криптекс из «Кода да Винчи».
Шифр Цезаря
Шифр Цезаря – простой метод шифрования, при котором буквы текста смещаются на фиксированное количество позиций. Назван в честь Юлия Цезаря, использовавшего его для секретной переписки.
Как это работает
Шифрование описывается формулой:
E(x) = (x + k) mod n
где:
x — номер буквы
k — сдвиг
n — количество букв в алфавите
Пример (английский алфавит, 26 букв):
A (0) → D (3)
E(0) = (0 + 3) mod 26 = 3
Расшифровка: D(x) = (x − k) mod n
Эта формула возвращает исходную букву, если известен ключ.
E(x) = (x + k) mod n
где:
x — номер буквы
k — сдвиг
n — количество букв в алфавите
Пример (английский алфавит, 26 букв):
A (0) → D (3)
E(0) = (0 + 3) mod 26 = 3
Расшифровка: D(x) = (x − k) mod n
Эта формула возвращает исходную букву, если известен ключ.
Важность
Шифр простой и легко взламывается, но он стал основой для последующих методов шифрования и показывает, как математика может защищать информацию.
Интересные факты о шифре Цезаря
Шифр Цезаря использовался в различных исторических контекстах и до сих пор является объектом изучения в области криптографии.
Арифметика по модулю
Это счёт, который после достижения определённого числа начинается заново.
Самый простой пример — часы:
после 12 снова идёт 1. Математически это записывают так: 13 ≡ 1 (mod 12) — то есть 13 и 1 дают одинаковый остаток при делении на 12.
Самый простой пример — часы:
после 12 снова идёт 1. Математически это записывают так: 13 ≡ 1 (mod 12) — то есть 13 и 1 дают одинаковый остаток при делении на 12.
- Как это работает в шифре Цезаря?В шифре Цезаря буквы алфавита «зацикливаются»: после последней снова идёт первая. Модульная арифметика идеально описывает такое поведение. Если буквы пронумеровать, то шифрование задаётся формулой:
E(x) = (x + k) mod Nx — номер буквы k — величина сдвига (ключ) N — количество букв в алфавите - Почему это важно?Модульная арифметика используется не только в простых шифрах. На её основе работают современные методы защиты — например, RSA, где операции по модулю выполняются уже с очень большими числами. То есть идеи, лежащие в основе шифра Цезаря, стали основой и для современных криптосистем: те же действия, но куда сложнее и надёжнее.
- Примеры:Пример (русский алфавит, 33 буквы): Буква «Ю» — номер 31. Сдвиг k = 3: 31 + 3 = 34 → 34 mod 33 = 1 → буква «Б». Пример (английский алфавит, 26 букв): W — номер 22. 22 + 5 = 27 → 27 mod 26 = 1 → буква B.
Методы шифрования
Существует множество методов шифрования, таких как шифры Цезаря, Виженера и RSA, каждый из которых обеспечивает безопасность информации.
Шифр Атбаш
Буква заменяется на «зеркальную» в алфавите (первая последняя, вторая предпоследняя). Пример: «ПРИВЕТ» → РПЧЭЪНМ
Минус: легко расшифровать, почти нет защиты.
Минус: легко расшифровать, почти нет защиты.
Шифр Виженера
Тип: многобуквенный шифр со сдвигами по ключевому слову.
Преимущество: устойчив к частотному анализу — буквы шифруются разными сдвигами. Пример: Ключ: «КОД» «ПРИВЕТ» → ЩЮММУЦ
Преимущество: устойчив к частотному анализу — буквы шифруются разными сдвигами. Пример: Ключ: «КОД» «ПРИВЕТ» → ЩЮММУЦ
Шифр Плейфера
Принцип: шифрует текст парами букв в таблице 5×5.
Правила: В строке → берем соседние справа В столбце → буквы снизу В разных строках → углы прямоугольника
Пример: «ПРИВЕТ» → ИФРКТЧ
Правила: В строке → берем соседние справа В столбце → буквы снизу В разных строках → углы прямоугольника
Пример: «ПРИВЕТ» → ИФРКТЧ
Шифр Вернама
Самый надёжный шифр в истории.
Как работает: Сообщение + случайный ключ той же длины Применяется XOR Для расшифровки нужен тот же ключ
Плюсы: невозможно взломать.
Минусы: ключ огромный и используется только один раз.
Пример: первая буква П
XOR ключ → 10111010 00101010
Как работает: Сообщение + случайный ключ той же длины Применяется XOR Для расшифровки нужен тот же ключ
Плюсы: невозможно взломать.
Минусы: ключ огромный и используется только один раз.
Пример: первая буква П
XOR ключ → 10111010 00101010
Шифр DES
Тип: симметричный блочный шифр (ключ 56 бит, блок 64 бита).
Как работает: 16 раундов перестановок и подстановок. Деление блока на левую и правую. часть XOR с ключом. Обмен половин
Сила: очень сложен для перебора, долго был мировым стандартом.
Как работает: 16 раундов перестановок и подстановок. Деление блока на левую и правую. часть XOR с ключом. Обмен половин
Сила: очень сложен для перебора, долго был мировым стандартом.
Итог
Атбаш → самый простой
Виженер → сильнее, защита от частотного анализа
Плейфер → шифрует парами, сложнее взломать
Вернам → абсолютная секретность
DES → практичный мощный стандарт XX века
Виженер → сильнее, защита от частотного анализа
Плейфер → шифрует парами, сложнее взломать
Вернам → абсолютная секретность
DES → практичный мощный стандарт XX века
Шифр RSA
Шифр RSA – надежный метод шифрования с открытыми и закрытыми ключами, основанный на больших числах. Используется для защиты личных данных и финансовых транзакций.
Как работает RSA
1. Выбираются два больших простых числа
Обозначим их p и q.
2. Создаётся модуль
n = p × q
Это число можно публиковать — оно часть открытого ключа.
3. Считается функция Эйлера
φ(n) = (p – 1)(q – 1)
4. Формируется открытый ключ
Выбирается число e, взаимно простое с φ(n).
Открытый ключ → (e, n)
5. Создаётся закрытый ключ
Находится число d, такое что:
e × d ≡ 1 (mod φ(n))
Закрытый ключ → (d, n)
Он должен храниться в секрете.
Обозначим их p и q.
2. Создаётся модуль
n = p × q
Это число можно публиковать — оно часть открытого ключа.
3. Считается функция Эйлера
φ(n) = (p – 1)(q – 1)
4. Формируется открытый ключ
Выбирается число e, взаимно простое с φ(n).
Открытый ключ → (e, n)
5. Создаётся закрытый ключ
Находится число d, такое что:
e × d ≡ 1 (mod φ(n))
Закрытый ключ → (d, n)
Он должен храниться в секрете.
Формулы RSA
Шифрование C = M^e mod n
Расшифровка M = C^d mod n
Открытый ключ шифрует, закрытый — расшифровывает.
Расшифровка M = C^d mod n
Открытый ключ шифрует, закрытый — расшифровывает.
Почему RSA надёжен
Чтобы взломать RSA, нужно разложить большое число n = p × q на множители. Если p и q огромные, сделать это практически невозможно — даже суперкомпьютеры будут работать десятилетиями. Из-за этого RSA считается одним из самых безопасных методов передачи данных.
Создайте свой шифр
Создайте уникальный шифр, использующий линейную функцию для шифрования информации.
Шаг 1: выберите ключ
Пожалуйста, выберите два целых числа: 'a' (должно быть взаимно простым с 26) и 'b'.
Введите 'a' и 'b'
Ключи
Шаг 2: формула шифрования
Используйте линейную функцию: E(x) = (ax + b) mod 26.
E(x) = (ax + b) mod 26
Формула
Шаг 3: формула расшифровки
Пожалуйста, вычислите модульный мультипликативный обратный 'a' (a⁻¹) mod 26.
D(y) = a⁻¹(y - b) mod 26
Формула
Обратная связь
Свяжитесь с нами по электронной почте или по телефону для вопросов и предложений.
8 983-136-20 95
Не указано
